A é a soma dos termos de uma sequência. sequências e séries finitas ter definido primeiro e último termos, onde sequências e séries como infinitas continuar indefinidamente. Em matemática, dada uma sequesnce infinito de números {um}, uma série é informalmente o resultado da adição de todos esses termos em conjunto: A1 + A2 + A3 + ??? Estes podem ser escritos de forma mais compacta usando o símbolo de soma Σ. Um exemplo é a famosa série de Zeno dichotomy.Sum_n = 1 ^ infty 1/2 ^ n = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ....... + 1/2 ^ n + .... .Os termos da série são muitas vezes produzidos de acordo com uma determinada regra, tal como por uma fórmula, ou por um algoritmo. Como há um número infinito de termos, esta noção é muitas vezes chamado de uma série infinita. Ao contrário de somas finitas, séries infinitas precisam de ferramentas de análise matemática para ser totalmente compreendido e manipulado. Além de sua onipresença em matemática, séries infinitas também são amplamente utilizados em outras disciplinas quantitativas, como física e computador sciences.Limit de um propertiesSeries Poder seriesBasic podem ser compostas de termos a partir de qualquer um dos muitos conjuntos diferentes, incluindo números reais, números complexos e funções. A definição dada aqui será para os números reais, mas pode ser generalized.Given uma sequência infinita de números reais {um}, defineS_N = soma ^ ñ_ñ = 0 a ^ n = a0 + A1 + A2 + ..... + anCall SN a soma parcial de N da sequência {um}, ou soma parcial da série. A série é a sequência de somas parciais, {SN} .Potential confusionWhen falando de série, pode-se referir tanto a sequência {SN} das somas parciais, ou a soma da série, soma ^ infty_n = 0 a_ni.e ., o limite da sequência de somas parciais (ver a definição formal na próxima seção) - é evidente que se destina a partir do contexto. Para fazer uma distinção entre esses dois objetos completamente diferentes (sequência vs. valor somado), um às vezes omite os limites (em cima e abaixo o símbolo da soma), como a ordem Anin inΣ_n para se referir à série formal, que pode ou não tem um definitivo série sum.Convergent Series Σan é dito 'convergir' ou 'ser convergente "quando a sequência SN de somas parciais tem um limite finito. Se o limite de SN é infinito, ou não existe, a série é dito que divergem. Quando o limite de somas parciais existe, é chamado a soma da seriessum_n = 0 ^ infty a_n = lim_N-> infinito s_n = lim_N-> infinito sum_n = 0 ^ N a_nThe maneira mais fácil que uma série infinita pode convergem é se toda a um são zero para n suficientemente grande. Uma tal série pode ser identificada com uma soma finita, de modo que só é infinito num sense.Working trivial as propriedades da série que convergem mesmo que todos os termos são não-zero é a essência do estudo da série. Considere o example1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + .... + 1/2 ^ n + .... É possível "visualizar" a sua convergência na linha número real: podemos imaginar uma linha de comprimento 2, com segmentos sucessivos marcados fora de comprimentos de 1,? ? etc. Há sempre espaço para marcar o segmento seguinte, porque a quantidade de linha restante é sempre o mesmo que o último segmento marcado: quando se tiver marcado fora? ainda temos um pedaço de comprimento? não marcado, então nós certamente pode marcar a próxima? Este argumento não prova que a soma é igual a 2 (apesar de ser), mas não provam que é no máximo 2. Por outras palavras, a série tem um limite superior. Provando que a série é igual a 2 requer apenas álgebra elementar, porém. Se a série é denotado S, que pode ser visto THATS /2 = (1 + 1/2 + 1/4 + 8/1 + ...) /2 = 1/2 + 1/4 + 8/1 + 1 /16+....Therefore,S - S /2 = 1 S = 2 matemáticos estender o idioma discutido anteriormente com outras noções, equivalentes de série. Por exemplo, quando falamos de um ponto decimal recorrente, como INX = 0,111 ..... estamos falando, na verdade, apenas sobre o seriessum_n = 1 ^ infty 10/01 ^ nMas uma vez que estas séries sempre convergem para números reais (porque do que é chamado a propriedade integralidade dos números reais), para falar sobre a série dessa forma é o mesmo que falar sobre os números para os quais se destacam. Em particular, deve ofender nenhuma sensibilidade se não fazem distinção entre 0,111 ... e 1/9. Menos claro é o argumento de que 9? 0,111 ... = 0.999 ... = 1, mas não é insustentável quando consideramos que podemos formalizar a prova sabendo apenas que leis de limite de preservar as operações aritméticas. Ver 0,999 ... para more.Properties de seriesProperties de seriesSeries são classificados não só por se convergir ou divergir: eles também podem ser divididos com base nas propriedades de os termos um (ou condicional de convergência absoluta); tipo de convergência da série (pointwise, uniforme); a classe do termo um (se é um número real, progressão aritmética, a função trigonométrica); etc. uma termsWhen não-negativo é um número real não-negativo para cada n, a SN sequência de somas parciais é não-decrescente. Segue-se que uma série Σan com condições não-negativos converge se e apenas se a sequência de somas parciais SN é bounded.For exemplo, o seriessum_n maior do que ou igual a 1 1 /N ^ 2 �uma convergente, porque o inequality1 /N ^ 2 menor do que ou igual a 1 /n-1-1 /n, n maior do que ou igual a 2, e um argumento soma telescópica implica que as somas parciais são delimitadas por 2.Absolute convergenceA seriessum_n = 0 ^ a ^ nis infty disse a convergir absolutamente se a série de absoluta valuessum_n = 0 ^ infty a_n | | converge. Pode-se provar que isto é suficiente para que não só a série original convergir para um limite, mas também para qualquer reordenação de que a convergir para o mesmo limite.