INTRODUCTION Convergent: Una sequenza si dice che sia una successione convergente se si avvicina un limite. Una sequenza Sn tende a convergere al limite s where'lim_ (n-> oo) 'Sn = S.The sequenza indicata in termini di 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/4 + 1/2 + 1/8 + 1/16 ... si dice che sia una successione convergente con limite. La sequenza monotona limitata è detto di successione convergente e ogni successione illimitata è divergent.Examples di successione convergente: Una sequenza è una gn funzione che viene definita sugli interi positivi n.We denotare una sequenza {} gn. dove n è 1 'oo' .A successione {gn} dove n è 1 'oo' converge ad un limite g € R se per ogni ε> 0 è un numero intero tale che (| gi-g | scrittura ' lim_ (i-> oo) 'gi = GEsempio 1: la data successione convergente è gn = 1 /nAggiungiamo noi assumiamo il limite per la sequenza data,' lim_ (n-> oo) 'gn = 0, e il numero reale è ε > 0 è dato scegliere n = [1 /ε], dove [X] indica il numero intero più piccolo che è più grande di X.Then per n≥N avremo (gn - 0). = (1 /n) ≤ (1 /n) Così 'lim_ (n-> oo)' gn = 0A sequenza nulla si dice che sia una sequenza, che converge a prova zero.Limit per convergenceLet 'sum_ (n = 1) ^ oo' 'x'n essere un data serie di numeri reali e si assume che la serie è convergente, per esempio, a un numero reale M. diciamo che una serie è convergente se la sequenza delle somme parziali converge. sia {sn} sia la sequenza delle somme parziali della serie data, vale a dire, 'S'N' = '' x'1 + 'x'2 +'.... '+' x'n, per ogni n 'in' 'NN'.Since la successione {' S'N .} è convergente, è Cauchy Quindi dato alcun 'EPSI' '>' 0, esiste un n0, tale che per ogni m, n '> =' N0, abbiamo, '|' 'S'N' - ' 's'm' | '' = 'n'0, abbiamo' '|' 's'm + 1' - '' s'm '|' '= n'0, abbiamo' | '' x ' m + 1 '|' '' 0, abbiamo ottenuto un 'n'0, tale che per ogni' n ''> = n'0, '|' 'x'n' | '' oo) '' x'n '=' '0'. * quello che abbiamo dimostrato è che, "Quando una serie 'sum_ (n = 1) ^ oo x'n è convergente, allora la successione {' x'n} converge a '0'. * Questo è il test limite per convegence è. Questa è una condizione sufficiente cioè se la serie converge allora la conclusione tiene. A titolo di esempio guardare il seguente. * Sappiamo che la serie, 'sum_ (n = 1) ^ oo' '(1' '/' 'n ^' 2 ')' è convergente. Si noti inoltre che 'lim_ (n-> oo)' '(1' '/' 'n ^' 2 ')' '=' '0'. Questa verifica il test limite. Ma il contrario non è necessariamente sempre vero cioè se '(oo X->) x'n lim_' = '' 0 ', allora non possiamo concludere che' sum_ (n = 1) ^ oo x 'n è convergent.Properties di successione convergente: 1) una funzione f, definita su uno spazio, è continua se e solo se è compatibile con i limiti che {F (Xn)} converge a f (L) dove lim f (Xn) = f (L) .2) un Sottosuccessione della sequenza Xn è una sequenza di forma (Xa (n)) dove a (n) sono numeri naturali con (n) 3) Ogni successione convergente in lo spazio metrico si dice che sia una sequenza di Cauchy ed è delimitata. La sequenza, che converge, è anche chiamato come la legge fondamentale del analysis.4) Una sequenza di numeri reali è convergente solo se il suo limite superiore ed il limite inferiore coincidono ed entrambi sono finiti.