Una serie è la somma dei termini di sequenza. sequenze finite e serie hanno definito prima e l'ultima termini, dove, come sequenze infinite e serie continuare all'infinito. In matematica, dato un sequesnce infinita di numeri {un}, una serie è informalmente il risultato della somma tutti questi termini insieme: A1 + A2 + A3 + ??? Questi possono essere scritte in modo più compatto con il simbolo Σ sommatoria. Un esempio è la famosa serie da Zeno di dichotomy.Sum_n = 1 ^ infty 1/2 ^ n = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ....... + 1/2 ^ n + .... .I termini della serie sono spesso prodotti secondo una certa regola, ad esempio da una formula, o da un algoritmo. Come ci sono un numero infinito di termini, questo concetto è spesso chiamato una serie infinita. A differenza di sommatorie finite, infinite serie hanno bisogno di strumenti di analisi matematica per essere pienamente comprese e manipolati. In aggiunta alla loro ubiquità in matematica, infinite serie sono anche ampiamente utilizzati in altre discipline quantitative come la fisica e il computer sciences.Limit di un propertiesSeries Potenza seriesBasic può essere composto da termini da uno qualsiasi dei molti set diversi, tra cui numeri reali, numeri complessi e funzioni. La definizione data qui sarà per numeri reali, ma può essere generalized.Given una sequenza infinita di numeri reali {un}, defineS_N = somma ^ ñ_ñ = 0 a ^ n = a0 + a1 + a2 + ..... + anCall SN la somma parziale N della sequenza {an}, o somma parziale della serie. Una serie è la successione delle somme parziali {SN} .Potential confusionWhen parlando serie, si può fare riferimento sia alla sequenza {SN} delle somme parziali, o per la somma della serie, somma ^ infty_n = 0 a_ni.e ., il limite della successione delle somme parziali (vedi la definizione formale nella sezione successiva) - è chiaro quale si intende dal contesto. Per fare una distinzione tra questi due oggetti completamente diversi (sequenza vs. valore della somma), uno a volte omette i limiti (in cima e sotto il simbolo della somma), come inΣ_n fine Anin per riferirsi alla serie formali, che può o non può avere una precisa serie sum.Convergent seriesA Σan si dice che 'convergere' o di 'essere convergente' quando la sequenza SN di somme parziali ha un limite finito. Se il limite di SN è infinito o non esiste, la serie è detto a divergere. Quando il limite delle somme parziali esiste, si chiama la somma del seriessum_n = 0 ^ infty a_n = lim_N-> infty S_n = lim_N-> infty sum_n = 0 ^ N a_nThe modo più semplice che una serie infinita può convergere è se tutte le una sono pari a zero per n sufficientemente grande. Tale serie può essere identificato con una somma finita, quindi è infinita solo in un sense.Working banale le proprietà della serie che convergono anche se tutte le condizioni sono non-zero è l'essenza dello studio di serie. Si consideri il example1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + .... + 1/2 ^ n + .... E 'possibile "visualizzare" la sua convergenza sulla reale linea dei numeri: possiamo immaginare una linea di lunghezza 2, con segmenti successivi delimitata di lunghezze 1,? ? ecc C'è sempre spazio per segnare il segmento successivo, perché la quantità di linea che rimane è sempre lo stesso come l'ultimo segmento segnato: quando abbiamo segnato fuori? abbiamo ancora un pezzo di lunghezza? non marcato, in modo certamente possiamo contrassegnare il prossimo? Questo argomento non dimostra che la somma è uguale a 2 (anche se è), ma non dimostrare che è al massimo 2. In altre parole, la serie ha un limite superiore. Dimostrando che la serie è pari a 2 richiede solo algebra elementare, però. Se la serie è indicato S, si può vedere THATS /2 = (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) /2 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1 /16+....Therefore,S - S /2 = 1 S = 2 matematici estendere l'idioma parlato in precedenza per altri, nozioni equivalenti di serie. Per esempio, quando si parla di un numero decimale periodico, come inx = 0,111 ..... stiamo parlando, infatti, quasi il seriessum_n = 1 ^ infty 1/10 ^ nMa da queste serie convergono sempre di numeri reali (perché di quella che viene chiamata la proprietà completezza dei numeri reali), per parlare della serie in questo modo è lo stesso che parlare i numeri per i quali si distinguono. In particolare, si dovrebbe offendere nessuna sensibilità se facciamo alcuna distinzione tra 0.111 ... e 1/9. Meno chiaro è l'argomento che 9? 0.111 ... = 0,999 ... = 1, ma non è insostenibile se consideriamo che siamo in grado di formalizzare la prova sapendo solo che le leggi limite conservano le operazioni aritmetiche. Vedere 0,999 ... per more.Properties di seriesProperties di seriesSeries sono classificati non solo dal fatto che essi convergono o divergono: possono anche essere suddivisi in base alle proprietà dei termini di un (convergenza assoluta o condizionale); tipo di convergenza della serie (puntuale, uniforme); la classe del termine di un (se è un numero reale, progressione aritmetica, funzione trigonometrica); ecc termsWhen non negativi an è un numero reale non negativo per ogni n, il SN successione delle somme parziali è non decrescente. Ne consegue che una serie Σan con termini non negativi converge se e solo se la sequenza SN di somme parziali è esempio bounded.For, il seriessum_n maggiore o uguale a 1 1 /n ^ 2è convergenti, perché il inequality1 /n ^ 2 inferiore o uguale a 1 /n-1-1 /n, n maggiore o uguale a 2, e un argomento somma telescopico implica che le somme parziali sono delimitate da 2.Absolute convergenceA seriessum_n = 0 ^ infty un ^ nis detta a convergere assolutamente se la serie di assoluto valuessum_n = 0 ^ infty