Dérivés de fonctions trigonométriques Avec cette section nous allons commencer à regarder les dérivés de fonctions autres que polynômes ou des racines de polynômes. Nous allons commencer ce processus par prendre un regard sur les dérivés des six fonctions trigonométriques. Deux des dérivés seront dérivés. Les quatre autres sont laissés au lecteur et suivront des épreuves similaires pour les deux donné here.Before nous obtenons effectivement dans les dérivées des fonctions trigonométriques dont nous avons besoin pour donner quelques limites qui vont apparaître dans la dérivation de deux des dérivés .FactSee la preuve de Trig limites section du chapitre Extras pour voir la preuve de ces deux limits.Before nous commençons à différencier les fonctions trigonométriques nous allons travailler un ensemble rapide des problèmes de limites que ce fait nous permet maintenant de do.Example 1 Évaluer chacun des limites suivantes. (a) [Solution] (b) [Solution] (c) [Solution] (d) [Solution] (e) [Solution] (f) [Solution] Solution (a) Il n'y a vraiment pas un tout beaucoup à cette limite. En fait, il est seulement ici en contraste avec l'exemple suivant de sorte que vous pouvez voir la différence dans la façon dont ces travaux. Dans ce cas, car il est à seulement 6 dans le dénominateur nous allons juste ce facteur sur et utilise le fait. [Retour aux problèmes] (b) Maintenant, dans ce cas, nous ne pouvons pas tenir le 6 sur le sinus afin nous sommes coincés avec lui là-bas et nous aurons besoin de trouver un moyen de traiter avec elle. Pour ce problème, nous devons remarquer que, dans le fait que l'argument du sinus est le même que le dénominateur (à savoir à la fois 's). Nous devons donc obtenir à la fois de l'argument du sinus et le dénominateur d'être le même. Nous pouvons le faire en multipliant le numérateur et le dénominateur par 6 comme follows.Note que nous factoré 6 dans le numérateur de la limite. À ce stade, alors qu'il ne peut pas ressembler à cela, nous pouvons utiliser le fait ci-dessus pour terminer la limite. Pour voir ce que nous pouvons utiliser le fait sur cette limite nous allons faire un changement de variables. Un changement de variables est vraiment juste un changement de nom de portions du problème pour faire quelque chose ressemble plus à quelque chose que nous savons comment faire face à. Ils ne peuvent pas toujours être fait, mais parfois, comme ce cas, ils peuvent simplifier le problème. Le changement de variables ici est de laisser et puis notez que nous avons aussi. Quand vous faites un changement de variables dans une limite que nous devons changer tous les x dans 's et cela inclut celui du limit.Doing le changement de variables sur cette limite donne, Et nous sommes là. Notez que nous n'avons pas vraiment besoin de faire un changement de variables ici. Tout ce que nous devons vraiment remarquer est que l'argument du sinus est le même que le dénominateur et alors nous pouvons utiliser le fait. Un changement de variables, dans ce cas, est vraiment seulement nécessaire de préciser que le fait fonctionne. [Retour aux problèmes] (c) Dans ce cas, nous semblent avoir un petit problème en ce que la fonction que nous prenons la limite d'ici est à l'envers par rapport à celle dans le fait. Ce ne sont pas le problème, il semble être une fois que nous remarquons que, et tout ce que nous devons faire est de rappeler une belle propriété de limites qui nous permet de faire, avec un peu de réécriture, nous pouvons voir ce que nous faisons, en fait, finit par avoir besoin de faire une limite comme celle que nous avons fait dans la partie précédente. Donc, nous allons faire la limite ici et cette fois nous embêtez pas avec un changement de variable pour nous aider. Tout ce que nous devons faire est de multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction dans le dénominateur par 7 pour obtenir des choses mises en place pour utiliser le fait. Voici le travail pour cette limite. [Retour aux problèmes] (d) Cette limite ne ressemble en rien à la limite dans le fait, mais il peut être considéré comme une combinaison des deux parties précédentes en faisant un peu de réécriture. Tout d'abord, nous allons séparer la fraction comme suit: Maintenant, le fait veut un t dans le dénominateur de la première et dans le numérateur du second. Cela est assez facile à faire si l'on multiplie le tout par (qui est juste un après tout, et donc ne changera pas le problème), puis faire un peu de réorganisation comme suit, A ce stade, nous pouvons voir que cela est vraiment deux limites que nous avons vu auparavant. Voici le travail pour chacun d'entre eux et un avis sur la deuxième limite que nous allons travailler un peu différemment que nous avons fait dans la partie précédente. Cette fois, nous allons constater que cela n'a pas vraiment d'importance si le sinus est dans le numérateur ou le dénominateur aussi longtemps que l'argument du sinus est le même que ce qui est dans le numérateur de la limite est encore one.Here est le travailler pour cette limite. [Retour aux problèmes] (e) Cette limite semble presque le même que celui dans le fait dans le sens que l'argument du sinus est le même que ce qui est dans le dénominateur. Cependant, notez que, à la limite, x va de 0 4 et le fait exige. Cependant, avec un changement de variables, nous pouvons voir que cette limite est en effet configuré pour utiliser le fait ci-dessus regardless.So, laissez puis notez que nous avons. Par conséquent, après avoir fait le changement de variable la limite devient, [Retour aux problèmes] (f) Les parties précédentes de cet exemple tous utilisés la partie sinusoïdale du fait. Cependant, nous ne pouvions tout simplement pu facilement utiliser la partie cosinus alors voici un petit exemple en utilisant la partie cosinus pour illustrer cela. Nous mettons pas dans beaucoup d'explications ici car cela ne fonctionne pas vraiment de la même manière que la partie sinusoïdale.